夜讀 | 巴菲特的必勝骰子
作者：CxEric
來源：CxEric的讀書與投資筆記
在翻閱巴菲特、芒格、格雷厄姆等人的傳記和著作時，我發現他們都曾出過一些有趣的“考題”，或是用來跟朋友們打賭，或是純粹做一下“智力體操”，又或是借題目來解釋一些不易察覺的人生和投資道理。
我覺得這些題目頗爲有趣，於是試着蒐集了一些，也嘗試找出這些故事的出處。
這些題目包括：
1、巴菲特的生日悖論；
2、巴菲特的必勝骰子；
3、芒格的謎語；
4、格雷厄姆的陷阱。
如果你有興趣，不妨也試着挑戰一下。
不過，如果你對題目的嚴謹性有質疑，我建議不妨姑妄觀之就好。
如果你已準備好了，那麼：測試——開始。
01
巴菲特的生日悖論
一場聚會中有25人在場，請問至少有兩人同月同日生的概率是多少？
這是一個經典的概率問題，也被稱爲“生日悖論”，因爲它的答案很反直覺。
巴菲特曾用這個悖論來跟人打賭。
根據《Buffett: The Making of an American Capitalist》一書：
在一次格雷厄姆信徒聚會上，有25名會友參加，巴菲特跟凱洛·盧米斯打賭，參加的人中至少有兩個人出生日期一樣，最後證實巴菲特的判斷是正確的，讓凱洛非常驚訝。
“這個簡單（但讓人驚訝）的解釋是，這種情況發生的概率有60%。”
巴菲特是對的，更準確第一點來說，這個概率應該是57%——這個數字依然會讓很多人驚訝，這是怎麼計算的？
作者沒有展示計算過程，但ChatGPT給了我一個詳細的解法。有興趣的朋友，可以劃到後面閱讀。
我覺得這個題目頗有意義，它再次說明瞭：
1）概率比想象中的更不直觀；
2）人類天然地不習慣使用概率思維。
即便是曾在概率論考試拿過高分的人，在生活中也很容易錯判概率，一個原因是我們傾向於使用直覺來處理信息，而不習慣強制大腦進入所謂的“系統2”進行思考。
另外一方面，我們都不擅長對知識進行遷移，尤其是將知識從書本、考場遷移到現實生活——我們的大腦似乎已經默認，這是由一道牆阻隔開的兩個世界。
在股市中，這類簡單的概率錯判很常見，譬如：
過去20年有N年的開門紅，所以今年開門紅的概率是N/20；
某隻股票已經跌了50%，所以它再跌20%的概率已經很低。
——這類概率估算，只是簡單的直覺判斷。
另一個有趣的事情是，我將這個題目發到雪球時，有網友質疑這不像是巴菲特會問的題目，理由是，“老巴考慮的都是小學算數。”
這可能是一種刻板印象。
不過，我能理解這種印象的由來：一方面，巴菲特經常強調，投資不需要複雜的計算；另一方面，巴菲特的大多數名言都有一種“大道至簡”的美感，因而會讓人感覺，巴菲特似乎從不碰複雜的數學題。
不過，從各種公開信息來看，巴菲特本人的數學能力應該是非常（非常非常）好，而且他似乎還很喜歡思考數學問題（尤其是概率）。
對了，以下是AI給出的計算過程。不需要看過程的朋友，可以劃直接走。
假設有25個人，每個人的生日是獨立且等概率地從365天中選取的。我們可以計算沒有兩個人生日相同的概率，然後用1減去該概率得到我們要求的答案。
第一個人的生日可以是任意一天，概率爲1。
第二個人的生日不能與第一個人相同的概率是364/365，因爲有365天中的1天與第一個人的生日相同。
第三個人的生日不能與前兩個人相同的概率是363/365。
以此類推，第25個人的生日不能與前24個人相同的概率是341/365。
因此，沒有兩個人生日相同的概率爲(364/365) * (363/365) * …… * (341/365)。
那麼，至少有兩個人生日相同的概率就是1減去上述概率，即：
1 - (364/365) * (363/365) * …… * (341/365) ≈ 0.5708，約爲57.08%。
因此，在25個人中，至少有兩個人生日相同的概率約爲57.08%。
02
巴菲特的必勝骰子
巴菲特有三個奇怪的骰子，數字大小不一、分佈不均，請你在觀察一番後選一個，然後巴菲特再選一個。
接着你們各自用自己的骰子，進行20輪的擲骰子比大小，看誰獲勝的輪次較多。
不管你選哪個，巴菲特都有把握最後能贏你。
這段故事我稱之爲“巴菲特的必勝骰子”——這個故事見諸於不同資料，有不同人物和故事，可見巴菲特已經多次拿這個骰子“戲耍”不同人，但我最好奇的是一個細節：這個骰子長什麼樣？
據《Buffettl:The Making of an American Capitalist》一書，負責保險業務的約翰·拜恩跟巴菲特在華盛頓的大學俱樂部碰面時，巴菲特帶了三個骰子，上頭的點數與一般骰子不同。
巴菲特提出：拜恩可以挑一顆他想要的骰子，巴菲特則會從剩下的骰子中挑出一顆骰子。
巴菲特向他保證，如果能夠擲20次，巴菲特一定會贏。
“我拿出我的HP財務計算器”，拜恩回憶，“我並不想要在本業上丟臉。”
“我計算了概率，選擇其中一顆骰子，巴菲特則拿了另一顆，結果他贏了14次。
然後他說：“你想要再玩一次嗎？賭個午餐？”
所以這一次我挑了巴菲特贏的骰子，這次他贏了16次。
我又拿出計算器算了一下，他一臉得意的樣子坐在那里。”
傳記作者說，原因在於，這些是非常特別的骰子，“不管是哪顆骰子，剩下的兩顆骰子中，都會有一顆能夠贏過選到的骰子，如果你選對了骰子，丟了足夠的次數，你就不可能輸。”
其餘玩過這些怪異骰子的，還包括兩屆橋牌世界冠軍沙倫·奧斯伯格、比爾蓋茨、《滾雪球》的作者，以及曾擊敗賭場的數學天才愛德華·索普。
《Bill Gates speaks: insight from the world's greatest Entrepreneur》寫到，巴菲特曾邀請比爾蓋茨玩這個骰子遊戲，但比爾蓋茨很快識破了這個遊戲的祕密。
巴菲特曾經用一套四個不尋常的骰子，它們的面上有從0到12的不同數字組合，向蓋茨發起了一場賭博遊戲。
巴菲特建議他們每人選擇一個骰子，然後丟棄另外兩個。他們打賭誰能投出最高的數字最多次。
巴菲特主動讓蓋茨先選骰子。
這個建議立刻引起了蓋茨的好奇心。他要求檢查一下骰子，然後要求巴菲特先選。
“一眼看上去並不容易發現，由於骰子上數字的巧妙選擇，它們是不可傳遞的。”蓋茨說。
“傳遞性這個數學原理，在這里不適用。也就是說，如果A打敗B，B打敗C，那麼A並不一定打敗C。”
比爾·蓋茨點出了骰子的關鍵。這四個骰子是類似石頭剪刀布的關係，每一個骰子既能贏一個，也會被另一個所剋制，所以——後選的一方必勝。
此外，《Fortune's Formula: The Untold Story of the Scientific Betti》一書寫到，在賭場大殺四方的數學天才愛德華·索普，曾跟巴菲特一起打橋牌，他們兩人都對這種怪異骰子非常感興趣：
“當巴菲特提到非遞移性骰子（non-transitive dice）這個索普同樣深感興趣的遊戲時，兩人一拍即合。那是一種數學上的奇特現象，這種骰子「把戲」能混淆大多數人對於機率的看法。”
書上沒有展開討論，但有些網絡資料把這個故事寫得很生動：
巴菲特曾和愛德華·索普打橋牌，玩得一時興起，巴菲特問了索普一個問題：你有沒有玩過三個骰子的遊戲？
假設三個骰子，A是（3,3,3,3,3,3）;B是（6,5,2,2,2,2）;C是（4,4,4,4,1,1）。你選一個覺得最好的骰子，然後我選，我們一起玩，看看誰會贏。
愛德華索普畢竟是戰勝過賭場的人，很快發現巴菲特在給他“下套”。
他告訴巴菲特：A對於B有三分之二的勝率，B對C有五分之九的勝率，C對A有三分之二的勝率。這是一個剪刀石頭布的遊戲，無論我選哪個，你都能戰勝我。
巴菲特聽完後，哈哈大笑，說你是唯一識破這個遊戲奧祕的人。
CxEric注：我沒有找到這個故事的出處，無法確認其真實性；
另，里面寫的概率顯然有錯，B對C的概率似是九分之五。
但不管如何，這是個有趣的故事。
所以這組骰子長什麼樣呢？
除了網絡流傳的：A（3,3,3,3,3,3）B（6,5,2,2,2,2）C（4,4,4,4,1,1），
它還可能長這樣：
這四個骰子的特別之處在於，左邊第一個能贏第二個，第二個能贏第三個，第三個能贏第四個，接着——第四個能贏第一個。
它打破了數學中常見的“傳遞性”——即如果A>B，B>C，那麼A必定>C。在這個案例里，A>B，B>C，卻出現C>A。
這能說明什麼道理麼？能。
Nick Sleep說，玩這個遊戲，“訣竅是讓你的對手無意中透露一些更多的信息，並讓他先選一個骰子！”
因而，非傳遞骰子提供了兩個便利的投資模型：
“首先，就像任何骰子都可能在一段時間內獲勝一樣，任何投資過程的優勢只有隨着時間的推移才能顯現，所以耐心很重要。
其次，股票市場每天公佈價格，這相當於讓對手先選擇骰子。市場所設定的價格揭示了關於一家公司前景的信息，這可能提供了機會，也可能不提供機會。
投資者可以選擇接受市場的報價，或者等待另一個價格、另一天。”
03
芒格的謎語
美國有一項運動，這項運動是一對一的，會舉辦全國冠軍比賽。有一個人獲得兩次冠軍，但中間間隔了65年。
現在，說出這項運動的名字。
這個題目出自芒格的一場演講。他曾用這個題目來考家人，而在演講中提出這個題目，是爲了舉例說明：
“我建議你們在解決問題時，使用一些快刀斬亂麻的運算法則，而且你們必須學會正向和反向地使用它們。”
芒格有個兒子是物理學家，他成功地給出了正確答案。
他是這麼推理的：
1、這不可能是一項需要很多手眼協調的運動。沒有八十五歲的老人家能夠贏得全國檯球巡迴賽冠軍，更別提全國網球冠軍了。總之不可能。
2、然後呢，他認爲不可能是國際象棋——這個物理學家下得很好——因爲它太難了。國際象棋的系統複雜性和所需的耐力太大了。但這引出了西洋跳棋。
他想，“啊哈！在這個遊戲里，只要經驗足夠豐富，哪怕你已經85歲，也能成爲這項運動最好的玩家。”
芒格說，“當然，這就是正確的答案。”“我推薦你們使用這種解決問題的方法，遇到問題要進行正向思考和逆向思考。”
在這場演講中，芒格還出了另一個題目，有着類似的解題思路。
題目大意是：
伯克希爾·哈撒韋在一個陌生城市開了一家傢俱和電器商店，迅速刷新了這一行的年銷售記錄（打破了伯克希爾自己的記錄），每年銷售金額高達5億美元。
從它營業的那天起，3200個停車位總是滿的。
芒格問：“請告訴我這家新商店迅速獲得成功，銷售額比全世界其他傢俱和電器商店都要高的原因？”
他接着自問自答，“讓我來替你們解答吧。”
“這是一家廉價商店還是一家高價商店？在陌生城市開設一家高價商店不會馬上獲得成功。那需要時間。”
“第二，如果它每年流轉的傢俱高達5億美元，那麼它肯定是一家碩大無朋的商店，因爲傢俱的體積都很龐大。大型商店的特點是什麼呢？它提供大量的選擇。”
“所以，除了是一家提供大量選擇的低價商店，還能是什麼呢？”
接着第二個問題來了。
“爲什麼以前沒人開這樣的商店，輪到它來當第一家呢？”
“答案同樣很明顯：開這麼大的商店需要一大筆錢。所以呢，以前沒人開過。”
芒格總結，“只要懂得一些基本的道理，這些看起來很難的微觀經濟學問題就能夠迎刃而解。我喜歡這麼輕鬆而又能帶來回報的思考方式。我建議你們大家也應該更好地掌握微觀經濟學。”
04
格雷厄姆的陷阱
1968年，美股正處於一股巨大的投機浪潮中，價值投資似乎再一次“失寵”。
在這樣的背景下，巴菲特以格雷厄姆的名義，發起了第一次格雷厄姆俱樂部的聚會，邀請了多位同門師兄弟，以及他的一些好友——比如，查理·芒格。
這次聚會在價值投資史上意義非凡，也常被視爲巴菲特投資風格轉變的契機。但這些都先按下不表，本文要討論的是，格雷厄姆在這次聚會中出了一套非常有趣的考題。
可惜的是，這次聚會沒有任何會議記錄，因此沒有人知道格雷厄姆問了什麼問題，而且這個故事有好幾個版本——每個人在講述時，都側重了不同方面。
第一個版本出自巴菲特的傳記《Buffett: The Making of an American Capitalist》一書。
格雷厄姆以蘇格拉底的心境抵達，“你們是一羣聰明的傢夥。”
他開始說：“我要對你們做個測試，這里有10個問題，都是是非題，我警告你們，這些問題都非常難。”
結果，沒有人答對一半以上的題目，除了芒格的律師事務所合夥人羅伊·託利斯（Roy Tolles），他懷疑這里頭有詭計，所以全都回答“是”。
格雷厄姆的重點是，一個看起來很簡單的遊戲也很容易作弊，這可說是在投機風潮時代里一個敏銳的警告。
第二個版本，出自一本年代久遠的格雷厄姆傳記《Value Investment: Lessons from the Dean of Wall Street》，這個故事更加精彩。
在這個版本里，格雷厄姆提前告訴大家：有一半的答案是對，一半的答案是錯——這意味，如果有人願意無腦全選“對”，或者全部選“錯”，他就能拿到一半的分數。
但結果，這一羣超級聰明的人幾乎全軍覆沒，只有一個人得到了超過一半的分數。
原文記載如下：
“他給我們出了一道測驗，”巴菲特說，“一套判斷題。有很多聰明的傢夥在場。他事先告訴我們一半是對的，一半是錯的。一共有20個問題。”
“我們大多數人答對不到10個。如果我們全部選對或者全部選錯，我們也能答對10個。”
巴菲特解釋說，格雷厄姆自己編了這個看似簡單卻很難捉摸的歷史謎題。
“這是爲了說明一個觀點，那就是聰明的傢夥會操縱遊戲規則。那時是1968年，各種虛假的會計手法層出不窮。
你可能會認爲你可以通過跟在他們的後面賺錢，但（這個測驗）是爲了說明如果你試圖玩別人的遊戲，那並不容易。”
（if you tried to play the other guy’s game, it was not easy to do.）
第三個版本是在中文網絡上找到的，據說是芒格在Wesco的1990年股東會上親述，我暫時沒有找到其出處：
“格雷厄姆晚年召集門下弟子舉行會議，他們平均智商超過150。
會議現場格雷厄姆讓他們做一個對錯測試，結果只有一個人（不是巴菲特和芒格）做對超過一半，並且這個人其實只會3題，其他都是蒙的。
芒格認爲，這是格雷厄姆試圖告訴他們，當有些非常聰明的人努力誤導你的時候，你很難表現出良好的判斷力並得出正確結論。”
這三個版本，如果允許我總結的話：
一是說明，簡單的遊戲也可能存在作弊，不要高估了自己“與狼共舞”的能力；
二是側重，我們需要分清楚，是在玩自己的遊戲，還是“別人的遊戲”——後者的難度是很高的；
三是強調，別忘了，如果一個聰明人鐵了心要騙你，你是很難不被騙的。
第四個版本出自《窮查理寶典》，它則直接討論了“信任”。
芒格說，他許多年前曾在聖地亞哥參加過「本傑明·格雷厄姆小組」的會議。格雷厄姆爲他那些聰明的追隨者進行了一次「認知評估測驗」，其中安插一些陷阱題。
不出格雷厄姆所料，受試者紛紛中招，他藉此發表了一次談話，點出信任的重要性：
“無論你們多麼聰明，總有一些更聰明的人，如果他們真的想騙你們，你們就會上當。
所以，要確定與你們同事的聰明人值得你們信賴。”
哇，我喜歡最後這個版本。
